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第1章 数学的产生和发展(1)

数学的产生

数学最初是从结绳记事开始的。大约在三百万年前,人类还处于茹毛饮血的原始时代,以采集野果、围猎野兽为生。这种活动常常是集体进行的,所得的“产品”也平均分配。这样,古人便渐渐产生了数量的概念。他们学会了在捕获一头野兽后用一个石子、一根木条来代表;或者用在绳子上打结的方法来记事、记数。这样,在原始社会人们的眼光中,一个绳结就代表一头野兽,两个结代表两头……,或者一个大结代表一头大兽,一个小结代表一头小兽……。数量的观念就是在这些过程中逐渐发展起来的。随着捕获手段的提高,所获的野兽越多,绳子的结越多,需要的数目也越大。

在距今大约五六千年以前,沿非洲的尼罗河出现了一个伟大的文明社会——埃及。埃及人较早地学会了农业生产。尼罗河每年7月定期泛滥,淹没大片农地,11月洪水逐渐退落。埃及人通过长期观察,注意到当天狼星和太阳同时出没的时候,正是洪水将至的预兆。还发现,这种现象大约365天重复一次。这样,埃及人就选择在洪水泛滥之后留下的肥沃淤泥上下种,待6月洪水来临之前收割,以获得好的收成。这是通过天文观测进行农业生产的结果,其中也包含了数学知识的应用。另一方面,古埃及的农业制度,是把同样大小的正方形土地分配给每一个人的,租用的人每年把他的收成提取一部分给土地所有者——国王。如果洪水冲毁了他们所分得的土地,他可以向国王报告,国王便派人前来调查并测量损失的那一部分,这样,他交的租就会相应减少。这种对于土地的测量,导致了几何学的诞生。实际上,几何学的原意就是“土地测量”。

数学正是从打结记数和土地测量开始的。

与埃及同时,世界上还有几个同样伟大的文明社会,如亚洲西部的巴比伦,南部的印度和东部的中国,它们分别创造了自己的文字,同时也产生了各自的记数法和最初的数学知识。在距今大约两千多年以前生活在欧洲东南部的希腊人,继承了这些数学知识,并将数学发展成为一门系统的理论科学。古希腊文明被毁灭后,阿拉伯人保存和继承了他们的文化,后来又传回欧洲,使得数学重新繁荣起来,并最终导致了近代数学的创立。

数的出现

原始社会,人类在狩猎、种植、捕鱼、采集等活动中,要与野里、鱼、木棒、石头等打交道,久而久之,人们便有了多少、数量的认识。这种对数的认识往往与实物联系在一起,如用“月亮”代表“1”,用“眼睛”、“耳朵”、“鸟的翅膀”代表“2”。这是由于只有一个月亮,人有两只眼睛两只耳朵、鸟有两只翅膀的缘故。原始人还认识到一个苹果和一头羊各是一个个体,三棵树和三把石斧都是三个体的堆等,这就是最初的数的概念。

最早用来计数的是手指、脚趾,或小石子、小木棍等。表示1,2,3,4个物体,就分别伸出1,2,3,4手指,遇到5个物体便伸出一只手,10个物体伸出两只手。当数目很多时,就用小石子来计数,10颗小石子一堆就用大一些的一颗石子来代表。中国古代用的是木、竹或骨子制成的小棍,称为算筹。但是,大多数的原始人遇到大一些的数目,往往无法区分。

用手指、脚趾、石子、小木棍等来计数,难以长时间记录一个数字。因此,古人发明了打绳结来记数的方法,或者在兽皮、树木、石头上刻划记数。这些记号,慢慢就变成了最早的数字符号(数码)。

现在通用的数码是印度——阿拉伯数码,用十进位制来表示数。用0,1,2,…,9十个数码可表示任一数,低一位的数满10后就进到高一位上去。这种十进制,现在看来简单而平常,可它却是人类经过长期努力才演变成的。如在古埃及,数码记号是这样的:

11010010001000010000100000100000一个数中若某位数超过1时,就要将它的符号重复写若干次。写更大的数则是一大串符号了,这样运算当然十分困难。古希腊人也需要27个字母互相组合,才能表示100以内的数目,非常不便。

除了十进制以外,还有五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十一进制、十二进制、二十进制、六十进制等。经过长期实际生活的应用,十进制于占了上风。

数的概念和数码、进位制的出现和发展,都是人类长期实践活动的结果。

泥版的故事

19世纪前期,人们在亚洲西部伊拉克境内发现了50万块泥版,上面密密麻麻地刻有奇怪的符号。这些符号是古巴比伦人所用的文字,现在人们称它为“楔形文字”。科学家经过研究,弄清了泥版上所记载的,是古巴比伦人已获得的知识,其中包括了大量的数学知识。

古代人最初用石块、绳结,后来又用手指来记数。一个指头代表1,两个指头代表2,……,当数到10时,就得重新开始,巴比伦人由此产生了逢十进一概念。又因为,一年中月亮有12次圆缺,一只手又有5个指头,12×5=60。这样,他们又有了隔60进一的记数法。他们用表示1,<表示10,从1到9是把写相应的次数,从10到50是把<和结合起来写相应的次数。例如35写成<<<。这种记数的方法,影响了后人,产生了现在我们所用的十进制和六十进制。例如,时间分为1小时=60分,1分=60秒。

巴比伦人还掌握了许多计算方法,并且编制各种数表帮助计算。从那些泥版上,人们发现巴比伦人已有了乘法表、倒数表、平方和立方表、平方根和立方根表。他们还运用了代数概念。

巴比伦泥版上还有这样的问题:兄弟10人分123米那的银子(米那及后面的赛克尔都是古代的重量单位,其中1米那=60赛克尔),已知他们分得的银子数成等差数列,而且第八个人的银子为6赛克尔,求每人所得的银子数量。从这样一些例子中,科学家认识到了巴比伦已知道等差数列、等比数列的概念。

巴比伦人也具备了初步的几何知识。他们会把不规则形状的田地分割为长方形、三角形和梯形来计算面积,也能计算简单的体积。他们非常熟悉等分圆周的方法,求得圆周与直径的比π≈3,还使用了勾股定理。

他们的成就对后来数学的发展产生了巨大的影响。

金字塔和纸草书

闻史世界的埃及金字塔,几百年来不仅以它宏伟高大的气势,吸引了无数旅游观光者,而且由于它设计的别致,建造的精巧,吸引了世界各地的科学家。据对最大的胡夫金字塔的测算,发现它原高146.5米(现因损坏还高137米),基底正方形每边长233米(现为227米)。但是,各底边长度的误差仅仅是1.6厘米,只是全长的114600;基底直角的误差只有12″,仅为直角的127000。此外,金字塔的四个面正向着东南西北,底面正方形两边与正北的偏差,也分别只有2′30″和5′30″。

这么高大的金字塔,建造精度如此之高,这使得科学家深信,古埃及人已掌握了丰富的知识。当科学家破译了古埃及人流传下来草片上的文字后,这一猜想得到了证实。

原来,在尼罗河三角洲盛产一种形状如芦苇的水生植物——纸莎草,古埃及人把这种草从纵面剖成小条,拼排整齐,连接成片,压榨晒干,用来写字,在纸莎草上写的字,叫纸草书。

如今将这种纸草书的一部分整理出来。

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