几何学的奠基人
两三千年前，古埃及人生活在尼罗河两岸，生产力很发达，大片大片的土地被开发。但是，人类无法与大自然抗争，当时的人们对洪水束手无策。每年，当夏秋季节尼罗河泛滥时期，河两岸的田地就有不少被洪水淹没或因河床改道，好端端的一块农田就会被吞没一块。每到这时，就会有几个聪明的埃及人拿着木棍绳子又比又量，准确地计算法老租给人们土地面积的变化。渐渐地，埃及人积累了不少计算面积的公式。如：
矩形：A＝ab（其中A是面积，a是长，b是宽。）三角形：A＝ah／2（其中a是边长，h是高。）另外，还能计算出梯形面积。而当时计算圆形面积的公式（8d／9）2，和如今的计算公式极为相近。
但是，当时的人们还没有把这些公式命名为几何学。
到了公元前320年，有一位叫作欧德谟的学者，根据埃及人的经验，写了一本《几何学的发展史》。这部书只有残篇传到了现在。又过了大约20年，古希腊出了一位叫欧几里得的人，他根据前人的经验，经过自己的计算推理，写出了一本共13篇的《原本》（又称《几何原本》）。这是人类第一次出现的“几何”概念。
欧几里得在《原本》这本书里，首先给出的是定义和公理。比如，他的点、线、面的概念：
点是只有位置没有大小的；线是只有长度没有宽度的；面是只有长度和宽度的；平行线是同一平面内无限延长后永不相交的两条直线；……这些定义和现今的几何定义极为相似。
欧几里得还按照逻辑原理，推论出十分严谨美妙的五条公理（又称“公设”）。其中有：
从一点到另一任意点作直线是可能的；所有的直角都相等；a＝b，b＝c，则a＝c；若a＝b，则a＋c=b＋c；《原本》中还有关于圆的性质的讨论。如弦、切线、割线、圆心角等等。讨论了圆的内接和外接图形。其中，有一个命题是在一个圆内作正15边形。
据说，当时的天文学一直认为地球赤道面与地球绕日公转面的交角是24°，即是圆周的1／15。于是，欧几里得运用自己的智慧，作出了正15边形，这在当时是一个难度十分大的命题。
《原本》13篇中共有467个命题。这些命题和推理所建立起来的几何学体系是相当严谨和完整的，以至于连20世纪最伟大的科学家爱因斯坦都这样说：一个人当他最初接触欧几里得几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为科学家的。
从《原本》的出现到现在，这部书出版过一千次以上，几乎世界上所有的杰出数学家，都是读着《原本》成长起来的。两千多年来，《原本》就像一尊坚固的宝塔，其坚固程度没有人能撼动它。因此，后人，尤其是科学界都把《原本》看作是一部经典奇书，而欧几里得的名字，也同《原本》一道流传千古。
欧几里得大约生于公元前330年，死于公元前275年。可惜的是，他一生的经历久已失传。
数学竞赛判真伪
1500年的某天，意大利北部的布里西亚，一户人家生了一个男孩，取名叫丰坦那。不久，意大利与法国发生战争，法军攻陷了布里西亚地区，大肆屠杀意大利人。丰坦那的父亲死于战祸，小丰坦那的头部和下颚也受了重伤。好在他的母亲是一位聪明而勇敢的妇女，她见儿子受伤，又没有医生看病治疗，她就想到了狗用舌头舔愈伤口的情景。于是，她也学着这个方法，用自己的舌头治好了儿子的伤口。
谁知痊愈后的小丰坦那却得了一个口吃的毛病，说话不连贯，人们就给他取个外号叫塔尔塔利亚（意译为口吃者）。久而久之，塔尔塔利亚就成了他的名字，丰坦那的名字也被人忘记了。
因为父亲死于战乱，塔尔塔利亚的家境十分贫寒，母亲无力送他上学读书。但是，塔尔塔利亚从小求知欲极强，母亲就在他父亲坟墓的石板上教他认字、算题。由于他天资聪明，意志坚强，竟独自学会了拉丁文和希腊文，对数学的钻研成绩更为突出。经过长期自学，成人后，他终于取得了成功，先后在他的家乡布里西亚和威尼斯等地从事教学工作。
塔尔塔利亚专门喜欢解各种数学难题，在这方面不少数学爱好者败在他的手下。
1530年的一天，有一位叫科拉的数学教师向塔尔塔利亚提出两道数学难题进行挑战：
1.一个数的立方加上它的平方的3倍等于5，求这个数。实际上是一个一元三次方程，即：x3＋3x2＝52.三个数，第二个数比第一个数多2，第三个数比第二个数多2，三个数的乘积是1000，求这三个数各是多少。实际上这也是一个一元三次方程，即：x（x＋2）（x＋2＋2）＝1000，展开后是x3＋6x2＋8x＝1000当时，人类还没有找到三次方程的解法。塔尔塔利亚于是全身心地投入进去，废寝忘食地解这两道题。不久，居然让他解开了，并因此找到了解开一元三次方程的办法。于是，塔尔塔利亚向外公开宣称，他已经知道了一元三次方程的解法，但不能公开自己的步骤，他要保密。此时，有一位叫菲俄的人也宣称，他也找到了解开一元三次方程的办法，并宣称，他的方法是得到了当时著名数学家波伦那大学教授费罗的真传。
他们二人谁真谁假？谁优谁劣？于是，1535年2月22日，在意大利有名的米兰大教堂里，举行了一次仅有塔尔塔利亚和菲俄参加的数学竞赛。竞赛内容专门限于一元三次方程。他们各自给对方出30道题，谁解得对解得快谁就得胜。两个小时之后，塔尔塔利亚解完了全部30道题，而菲俄却一道题也解不出来。竞赛结果，塔尔塔利亚大获全胜。
原来，一元三次方程的问题是1404年被人引起来的。
当时意大利著名数学家巴巧利说：“x3＋mx＝n，x3＋n＝mx之不可解，正像化圆为方问题一样。”谁知此问题提出不久，就被费罗解出了。1510年，他将方法透露给了他的学生菲俄。于是，当塔尔塔利亚宣称他找到一元三次方程解法时，便出现了要举行竞赛的事情。
初时，塔尔塔利亚面对出名的学者未免心虚，因为他的方法还不完善。据说在竞赛之前的10天，即2月12日深夜，塔尔塔利亚一夜未睡，直至黎明。他头脑昏昏，走出室外，伸伸懒腰，吸吸新鲜空气。顿时，他的思路豁然开朗，多日的深思熟虑，终于取得了结果。因此，才在竞赛中大获全胜。
为了使自己的成果更完善，塔尔塔利亚又艰苦努力了6年，才在1541年真正找到一元三次方程的解法。很多人请求他把这种方法公布出来，但却遭到他的拒绝。原来，塔尔塔利亚准备在译完欧几里得和阿基米德的著作之后，再把自己的发明发现写成一本专著，以便流传后世。
在这之前60几年，米兰有一位学者卡当，对一元三次方程的问题十分感兴趣，苦苦央求塔尔塔利亚把解法告诉他，并起誓发愿，决不泄密。1539年，塔尔塔利亚被卡当的至诚之心所动，就把此法传授给他。
卡当是意大利的数学家，后来又开业行医，也常常为人占卜，曾受雇于教皇当过占星术士。没过多久，卡当背信弃义，写成了一部叫《大术》的书。此书1545年在纽伦堡出版发行。在书中，卡当公布了一元三次方程的解法，声称这是他的发明。当时人们信以为真，便把三次方程的求根公式称为“卡当公式”。
在《大术》一书中，卡当说：“大约在30年前，波伦那的费罗教授发现了这一法则，并传授给了威尼斯的菲俄，菲俄曾与塔尔塔利亚进行过公开竞赛。塔尔塔利亚也发现了这一方法，他在我的恳求下，把三次方程的解法告诉了我，但是没有给出证明。借助塔尔塔利亚的帮助，我找到了几种证明方法，它是非常困难的。”
卡当的背信弃义激怒了塔尔塔利亚，他向卡当宣战，要求进行公开竞赛。双方各拟31道试题，限期15天完成。卡当临阵怯场，只派了他的一个高徒应战。结果，塔尔塔利亚在7天之内就解出了大部分试题，而卡当的高徒仅做对一题，其余全是错的。接着，二人又进行了一场激烈的争鸣和辩论。就这样，人们才明白事情的真相，塔尔塔利亚才被人们知道，他才是一元三次方程求根公式的真正发明人。
塔尔塔利亚经过这场风波之后，准备心平气和地把自己的成果写成一部数学专著，可是他已经心力憔悴，1557年，他没有实现自己的愿望就与世长辞了。
代数之父
16世纪末，法国在同西班牙的战争中，西班牙依仗着密码，在法国境内秘密地自由通讯，交通情报，结果使法军连连败退。法国国王请来当时很有名望的数学大师韦达进行帮助，韦达借助数学知识，成功地破译了一份西班牙的数百字的密码，从而使法国只用两年时间就打败了西班牙，韦达在这次战争中立了大功。但是，西班国王菲力普二世向教皇控告说，法国人在对付西班牙时采用了魔术。于是，西班牙宗教裁判所，以韦达背叛上帝的罪名进行缺席判决，要将韦达处以焚烧的极刑。当然，宗教的野蛮刑法未能实现，韦达于1603年12月13日在巴黎逝世，终年63岁。韦达死后，人们誉他为“代数之父”。
韦达于1540年生在法国的丰特内，本名叫佛兰西斯·韦埃特。韦达是他的拉丁名字。他的专业是学律师的，曾任过布列塔尼议会议员、那瓦尔的亨利亲王的枢密顾问官。他对天文学、数学有着浓厚的兴趣，经常利用业余时间研究数学。1584年到1589年，由于他在政治上处于反对派地位，被免去了官职。从此，他便专心致力于数学的研究。
在从政期间，韦达研究丢番图、塔尔塔利亚、卡尔丹诺、邦别利、斯提文等人的著作。他从这些名家，特别是从丢番图那里，获得了使用字母的想法。
在韦达之前的一些大学者，包括欧几里得、亚里斯多德在内，虽曾用字母代替过特定的数，但他们的用法不是经常的、系统的。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母代替数进行数学运算的人。他不仅用字母表示未知量和未知量的乘幂，而且还用来表示一般系数。通常，他用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量。他的做法是划时代的，从而奠定了代数学的基础，对代数的国际通用语言的形成起到了极为重要的作用。
1591年，韦达出版了他的代数学专著《分析方法入门》，这是历史上第一部符号代数学。它明确了“类的算术”和“数的算术”的区别，即代数与算术的分界线。
据载，韦达还以他精湛的数学知识，为国家赢得了荣誉。
当时，比利时有一位数学家，名叫罗梅纽斯，深受国王推崇，国民也深感自豪和骄傲。一次，比利时的大使向法国国王亨利四世夸口道：“你们法国还没有一个数学家能解开我国数学家罗梅纽斯的一个关于45次方程的求根问题。”
原来，这道45次方程是罗梅纽斯于1573年在他的《数学思想》一书提出来的。
面对比利时的挑战，亨利四世决定在国内挑选数学家来解开此题，以长国威。谁知找了不少数学教授都找不到答案，国王心里十分烦闷，如同丧权辱国一般。
一天，国王将此题给韦达看，韦达说：“一个相当简单的问题，我马上就能给出正确答案。”因为韦达看出，这个方程是依赖于sin45θ与sinθ之间的关系，所以几分钟内就求出了两个根。国王见了答案，高兴地说道：“韦达是我国乃至全世界最伟大的数学家。”接着便赏给韦达500法郎。
韦达生前写出不少著作，但多数没有出版发行。有一部《论方程的整理与修改》，是在他去世12年后才出版的。
在书中，韦达把5次以内的多项式系数表示成其根的对称函数。他还提出了4个定理，清楚地说明了方程的根与其各项系数之间的关系——即韦达定理。此定理至今仍在使用。他还为一元三次方程、四次方提供了可靠的解法，为后来利用高等函数求解高次代数方程开辟了新的道路。
另外，韦达利用欧几里得的《几何原本》第一个提出了无穷等比级数的求和公式，发现了正切定律、正弦差公式、纯角球面三角形的余弦定理等。韦达利用代数法分析几何问题的思想，正是后来的数学家笛卡尔解析几何思想的出发点。笛卡尔说他是继承韦达的事业。
直到1646年，韦达死后的40多年之后，他的全部著作才由荷兰数学家范·施库腾等人整理成书，名为《韦达全集》。
解析几何的问世
1617年，荷兰奥伦治公爵的军队里来了一名22岁的博士生，他就是伟大的数学家笛卡尔。
一天，部队开到布雷达城，无所事事的笛卡尔漫步在大街上，忽然看见一群人围在一起议论纷纷，原来在一堵墙上贴着一张几何难题的悬赏启事。启事上说，谁能够解开此题谁就能获得本城最优秀的数学家称号。笛卡尔出于好奇心抄下题目，回到军营，专心致志地研究这道几何难题。经过潜心钻研，两天后，他终于求得了答案，由此使他数学天才初露锋芒。
荷兰多特学院院长毕克曼十分赏识笛卡尔的才华，劝他说：“你有深厚的数学基础，才思敏捷，很适合数学研究。
离开军队吧，我相信你将来会成功的。”
笛卡尔没有离开军队，但仍然迷恋数学，尤其想碰一碰古希腊几何三大问题。说起这三大问题，还有一个很古老的传说：
大约是2300多年前，古希腊的第罗斯岛上，一场可怕的瘟疫正在蔓延，人们生活在死亡的恐怖之中。他们来到神庙前祈求：“万能的神啊，请赐予我们平安吧！”谁知神庙里的主人欺骗这些可怜的人们说：“我忠实的信徒们，神在保佑着你们，只要你们把上供的正方体祭坛，在不改变原来形状的情况下，把它的体积增大到原来的两倍，神就会高兴，就能免除你们的灾难。”
濒于死亡的人们听后立即去改造神的祭坛，他们把祭坛的每边棱长扩充到原来的两倍。但神庙的主人看后说：“这哪里是原来的两倍，这是原来的八倍了。神不高兴啊！”
人们听后赶忙拆了重建，他们把体积改成了原来的两倍，可形状却是一个长方体。神庙的主人训斥道：“该死的信徒们，你们怎么把祭坛的形状改变了呢，这不是戏弄神吗？当心还有更大的瘟疫！”
惊慌失措的人们急忙去找著名的学者柏拉图，把希望寄托在这位大智者的身上。谁知柏拉图和他的学生们无论怎么用直尺和圆规去画，也同样找不到正确的办法，于是，立方倍积问题便成了一道几何难题。
后来，希腊人又碰到了把一个已知角分成三等分和化圆为方问题（即求一个正方形，使它的面积等于一个已知圆的面积）。
从此，立方倍积、三等分角、化圆为方这三个问题一直困扰着世世代代的数学家，不少人为此呕心沥血，穷毕生精力也找不到答案。这样一直延续了2000年。
笛卡尔认真总结前人的大量经验教训后猜想，古希腊三大几何难题，采用尺和规作图的办法。是不是本来就作不出呢？应该另找一条道路才是。
