由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎也没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对虚数产生过种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”本意是指它是虚假的；莱布尼兹在公元18世纪初则认为：虚数是美妙而奇异的神灵，它几乎是既存在又不存在的两栖动物。挪威一个测量学家维塞尔提出把复数a＋bi用平面上的点（a、b）来表示。后来，高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地。现在，复数一般用来表示向量（有方向的数量），这在水利学、地图学、航空学中的应用是十分广泛的。虚数越来越显示出其丰富的内容，真是“虚数不虚”。
无限大与无限小的概念
无论是实数还是复数，都有确定的量值。换句话说就是我们通常碰到的事物是有限的，总可以用这些数来计量的。
人类在长期认识过程中，又逐渐产生两个新的概念。最早的时候，人们将整个宇宙理解为地球，航海学测量地球半径为6370千米，对人来说，那是一个非常大的数。16世纪，哥白尼的“日心说”又将宇宙扩大到以太阳为中心的太阳系，太阳系的半径为60亿千米，约是地球半径的94万倍。地球与之相比只是沧海一粟。随着科学技术的发展，人们借助射电望远镜，又将宇宙范围扩展到银河系、星系团、超星系团以至总星系。这些星系的半径都是数百万光年（光年即光走一年的路程，大约94600亿千米）以上，这个数字简直是无法把握的。这样就出现了无限大的概念，数学上记为∞。它的含义是比任何实数都大的数，这个数当然是虚拟的，不是一个确定的数。
在微观世界，人类的认识也从分子到原子，从原子到原子核。原子核直径约为10-13厘米，原子核还可以分解为质子、中子，它们的直径更小。这一分解过程得以无穷尽地进行下去，这样就带来了无限小的概念。
无限大、无限小的含义已经涉及数的变化趋势了，这里从确定量到变量过渡中产生的数，是微积分的基础。
有理数与无理数的探索
平易近人的有理数
以正有理数来说，0表示什么也没有或出发点，自然数列1、2、3、…，表示从1开始一个一个地多起来；或者说从0开始，每个整数有唯一的一个“后继”，这些都是我们日常数物件（例如清点教室里有几张桌子）时的自然概念。而分数，例如表示把一块饼平均切成9小块，取其中4小块的部分之多少等等。可见有理数是可以看得到，容易理解的数量，所以当初数学上命其名为“有理”数。
如果把有理数用十进制（二进制等也是这样）表示，用有限个数字即可表达，例如3030，1.5，0.1989等等。它们能方便地用可视的有限数字精确地表示出来。
有理数集合中的数可以编号，谁是1号有理数，谁是2号有理数等，可以人为地加以指定。下面给出一种编号方案，我们把以q为分母的既约分数pq（p＞0，q＞0）排成无穷的方阵，每横行分母一致，分子从小到大排列，方阵中囊括了一切正有理数，再按箭头所示的次序来编号，1编成1号，2为2号，p112=12是3号等，于是每个正有理数迟早都会获得惟一的一个指定的号码。再把0编成0号，把这些号码皆乘以2，把得到的新号码2k（皆偶数）减1所得的奇数码赋予与带有2k码的那个有理数相反的数，例如12的号码是2×3=6，6-1=5则是-12的号码，如此，全体有理数皆编了序号0，1，2，…。与全体无理数相比（下面要细讲无理数不可编号），有理数全体的这种可以有序化或曰“可数性”是有理数名副其实的一个“有理”的表现。
神出鬼没的无理数
无理数也有无穷多个，例如
0.112123…123…k…k个相异数（1）
是一个无理数a1，它无限又不循环。若把（1）中的数字1全擦掉则得a2，a2也是无理数，把a2中的数字2全擦掉，则得无理数a3，如此可以得出无穷个无理数，这部分无理数a1，a2，…，an与全体有理数可以一一对应，a1与0号有理数是一对，a2与1号有理数是一对，…，αk-1与k号有理数是一对，可见无理数的一部分已经和全体有理数一样多。
无理数集合中的元素不可编号。这只需证明（0，1］中的实数不可编号。用反证法，若可以把（0，1］中的实数编号成t1，t2，…，tn，…，其中
t1=0.t11t12t13…
t2=0.t21t22t23…
…
tn=0.tn1tn2tn3…
其中tij∈{0，1，2，…，9}，i、j是自然数，且每个ti中的右端有无限个数字不是零。例如0.5则写成0.499…9…。观察对角线上的数字列t11，t22，…，tnn，取
ai=2，tii=1
1，tii≠1
则十进小数
a=0.a1a2…an…∈（0，1］
且a∈{t1，t2，…，tn}，此与（0，1］中的全集实为是{t1，t2，…，tn}矛盾，可见（0，1］内的全体实数不可编号。
若（0，1］中全体无理数可以编号为β1，β2，…，βn，又知（0，1］中的全体有理数可以编号为γ1，γ2，…，γn，考虑数列
γ1，β1，γ2，β2，…，γk，βk（2）
则（0，1］中的全体实数可按（2）的次序编码，与上述证明出的事实相违，至此知（0，1］中的全体无理数进而实数集中的全体无理数不可编号。
无理数们的这种不可数性是它们的一种“无理”表现。从无理数不可数（编号）可知无理数比有理数多得多，通俗地说，有理数可以一个一个地数，而无理数则多得不可胜数。
有理数是米，无理数是汤
如果把实数轴（集）比喻成一锅黏稠的粥，则可数的有理数们是一粒粒离散的米粒，它们在数轴上处处稠密，事实上，若γ0是一个实数，设γ0是有理数，则γ0的任意近旁，γ0±1n（n≥1，n∈N）是两个有理数；若γ0是无理数，则
γ0=γ0+0.β1β2…βn（3）
其中0.β1β2…βn是无理小数，γ0是有理数，于是
γ0′=γ0+0.β1β2…βn（4）
是γ0近旁的一个有理数，|γ0-γ0′|＜110n。可见数轴上任一点的任意近旁都有有理数存在，即有理数处处稠密。类似地可知无理数在数轴上处处稠密。有理数们处处稠密地离散地浸泡在无理数的“汤”里。
具有神秘色彩的“9”
爱因斯坦出生于1879年3月14日，把这些数字连在一起，就成了1879314。重新排列这些数字，任意构成一个不同的数，例如3714819，在这两个数中，用大的减去小的（3714819－1879314＝1835505）得到一个差数。把差数的各个数字加起来，如果是两位数，就再把它的两个数字加起来，最后的结果是9（即1＋8＋3＋5＋5＋0＋5＝27，2＋7＝9）。实际上，把任何人的生日写出来，做同样的计算，最后得到的都是9。
把一个大数的各位数字相加得到一个和；再把这个和的各位数字相加又得到一个和；这样继续下去，直到最后的数字之和是一位数字为止。最后这个数称为最初那个数的“数字根”。这个数字根等于原数除以9的余数，这个过程常称为“弃九法”。求一个数的数字根，最快的方法是加原数的数字时把9舍去。例如求385916的数字根，其中有9，且3＋6，8＋1都是9，就可以舍去，最后剩下就是原数的数字根。
由此我们可以解释生日算法的奥妙。假定一个数n由很多数字组成，把n的各个数字打乱重排得到n′，显然n和n′有相同的数字根，即n－n′一定是9的倍数，它的数字根是0或9，所以，只要n≠n′，n－n′累积求数字和所得的结果就一定是9。
友好的亲和数
亲和数又叫友好数，它指的是这样的两个自然数，其中每个数的真因子和等于另一个数。据说曾有人问毕达哥拉斯（公元前6世纪的古希腊数学家）：“朋友是什么？”他回答：“就是第二个我，正如220与284。”为什么他把朋友比喻成两个数字呢？原来220的真因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55和110，加起来得284；而284的真因子的1、2、4、71、124，加起来恰好是220。284和220就是友好数，它们是人类最早发现的又是所有友好数中最小的一对。
第二对亲和数（17296，18416）是在2000多年后的1636年才发现的。之后，人类不断发现新的亲和数。1747年，欧拉已知道30对。1750年又增加到50对。到现在科学家已经发现了900对以上这样的亲和数。令人惊讶的是，第二对最小的友好数（1184，1210）直到19世纪后期才被一个16岁的意大利男孩发现。
人们还研究了亲和数链：这是一个连串自然数，其中每一个数的真因子之和都等于下一个数，最后一个数的真因子之和等于第一个数。如12496，14288，15472，14536，14264。有一个这样的链竟然包含了28个数。
有趣的素数
素数是只能被1和它本身整除的自然数，如2、3、5、7、11等等，也称为质数。如果一个自然数不仅能被1和它本身整除，还能被别的自然数整除，就叫合数。1既不是素数，也不是合数。每个合数都可以表示成一些素数的乘积，因此素数可以说是构成整个自然数大厦的砖瓦。
许多素数具有迷人的形式和性质。例如：
逆素数：顺着读与逆着读都是素数的数。如1949与9491，3011与1103，1453与3541等。无重逆素数，是数字都不重复的逆素数。如13与31，17与71，37与73，79与97，107与701等。
循环下降素数与循环上升素数：按1~9这9个数码反序或正序相连而成的素数（9和1相接），如43，1987，76543，23，23456789，1234567891。现在找到最大一个是28位的数：1234567891234567891234567891。
由一些特殊的数码组成的数，如31，331，3331，33331，333331以及3333331，33333331都是素数。
素数研究是数论中最古老、也是最基本的部分，其中集中了看上去极简单，却几十年甚至几百年都难以解决的大量问题。
为什么1不是素数
全体自然数可以分成三类：一类是素数（也叫做质数），如2、3、5、7、11、13、17、…；另一类是合数，如4、6、8、9、10、…；“1”既不是素数，也不是合数，而是单独算一类。素数只能被1和它本身整除，而合数还能被其他的数整除。例如合数6，除了能被1和6整除以外，还能被2和3整除，所以，把素数和合数分成两类的理由很充足。“1”也只能被1和它本身整除，为什么不是素数呢？如果把“1”也算作素数，那么，自然数只要分成素数和合数两类，岂不更好吗？
要回答这个问题，得先从为什么要讲素数谈起。比如说，3003能够被哪些数整除？也就是说，3003的因子有哪一些？当然，我们可以把1到3003的各数一个一个地考虑一番，但是，这样做十分费事。我们知道，合数都可以由几个素数相乘得到，把一个合数用素因子相乘的形式表示出来，叫做分解素因子。显然每一个合数都能够分解素因子，而且只有一种结果。就拿3003来说，分解素因子的结果是：3003=3×7×11×13。现在我们再来看看，为什么不把1算作素数？
如果“1”也算作素数，那么，把一个合数分解成素因子的时候，它的答案就不止一种了。也就是说，我们在分解式里，可以随便添上几个因子“1”。这样做，一方面对于求3003的因子毫无必要，另一方面分解素因子的结果不止一种，又增添了不必要的麻烦，因此，1不算作素数。
对数的发现
对数的第一个发明者是纳皮尔。他从大约40岁开始研究对数。当时（约1590年）欧洲代数学十分落后，连“指数”、“底数”这些概念还没有建立，可纳皮尔却首先发明了对数，这不能不说是数学史上的一个奇迹。
关于对数的问题，纳皮尔是这样考虑的：设线段TS长度为a，T′S是一条射线。质点G从T开始作变速运动，其速度与它到S的距离成正比。质点L从T′开始做匀速运动，其速度与G的初速相同。当G运动到G点时，L运动到L点，设GS＝x，T′L＝y，纳皮尔称y为x的对数。纳皮尔从几何角度引入了对数的概念，但为了方便计算，应加以改进。可惜改进计划还没开始，纳皮尔就离开了人世。
