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第153章 志二十一(2)

三曰两边夹一角,或锐或钝,求不知之一边。以半径为一率,所知角馀弦为二率,任以所知一边正切为三率,求得四率,命为正切。对表得度,与所知又一边相减,馀为分边。乃以前得度馀弦为一率,先用边馀弦为二率,分边馀弦为三率,求得四率,为不知之边馀弦。原角钝,分边大,此边小;分边小,此边大。原角锐,分边小,此边小;分边大,此边大。此其理系三次比例省为二次。如图甲丙丁形,知甲丙、甲丁二边及甲角,中作垂弧丙乙,半径与甲角馀弦之比,同于甲丙正切与甲乙正切之比。先一算为易明。既分甲丁于乙,而得丁乙分边,甲乙馀弦与半径之比,同于甲丙馀弦与丙乙馀弦之比。法当先以甲乙馀弦为一率,半径为二率,甲丙馀弦为三率,求得四率,为丙乙馀弦。既得丙乙馀弦,半径与乙丁馀弦之比,同于丙乙馀弦与丁丙馀弦之比。乃以半径为一率,乙丁馀弦为二率,丙乙馀弦为三率,求得四率,为丁丙馀弦。然而乘除相报,故从省。两边夹一角若正,则径以所知两边馀弦相乘半径除之,即得不知边之馀弦,理自明也。所知两边俱大俱小,此边小;所知两边一小一大,此边大。

四曰两角夹一边,求不知之一角。以角为边,以边为角,反求之;得度,反取之;求、取皆与半周相减。

五曰所知两边对所知两角,或锐、或钝,求不知之边角。以半径为一率,任以所知一角之馀弦为二率,对所知又一角之边正切为三率,求得四率,命为正切,对表得度。复以所知又一角、一边如法求之,复得度。视原所知两角锐、钝相同,则两得度相加;不同,则两得度相减;皆加减为不知之边。乃按第一术对边求对角,即得不知之角。原又一角钝,对先用角之边大于后得度,此角钝;对先用角之边小于后得度,此角锐。原又一角锐,对先用角之边小于后得度,此角钝;对先用角之边大于后得度,此角锐。此其理系垂弧在形内与在形外之不同,及角分锐钝,边殊大小,前后左右俯仰向背之相应。如图甲乙丙形,甲乙二角俱锐,两锐相向,故垂弧丙丁,从中取正,而在形内。己丙庚形,己庚二角俱钝,两钝相向,故垂弧戊丙亦在形内。庚丙乙形,庚乙两角,一锐一钝相违,垂弧丙丁,从外补正,自在形外。在形内者判底边为二,两得分边之度,如乙丁、丁甲,合而成一底边如乙甲,故宜相加。在形外者,引底边之馀,两得分边之度,如庚丁、乙丁,重而不搑,底边如庚乙,故宜相减。锐钝大小之相应,亦如右图审之。所知两边对所知两角有一正,则一得度即为不知之边,理亦自明。

六曰三边求角,以所求角旁两边正弦相乘为一率,半径自乘为二率,两边相减馀为较弧,取其正矢与对边之正矢相减馀为三率,求得四率,为所求角正矢。此其理在两次比例省为一次。如图甲壬乙形,求甲角,其正矢为丑丁。法当以甲乙边正弦乙丙为一率,半径乙己为二率,两边较弧正矢乙癸与对边正矢乙卯相减馀癸卯同辛子为三率,求得四率为壬辛。乃以甲壬边正弦戊辛为一率,壬辛为二率,半径己丁为三率,求得四率为丑丁。甲角正矢亦以乘除相报,故从省焉。

七曰三角或锐、或钝求边,以角为边,反求其角;既得角,复取为边;求、取皆与半周相减。此其理在次形,如图甲乙丙形,甲角之度为丁戊,与半周相减为戊己,其度必同于次形子辛午之子辛边,盖丑卯为乙之角度丑点之交,甲乙弧必为正角,丁戊为甲之角度戊点之交,甲乙弧亦必为正角。以一甲乙而交丑辛、戊辛二弧皆成正角,则二弧必皆九十度,弧三角之势如此也。戊辛既九十度,子己亦九十度,去相覆之戊子,己戊自同子辛,于是庚癸必同子午,卯未必同午辛,理皆如是矣。而此形之馀角既皆为彼形之边,彼形馀角不得不为此形之边,故反取之而得焉。若三角有一正,除正角外,以一角之正弦为一率,又一角之馀弦为二率,半径为三率,求得四率,为对又一角之边馀弦。此其理亦系次形,而以正角及一角为次形之角,以又一角加减象限为次形对角之边,取象稍异。

凡兹七术,惟边角相求,有锐钝、大小不能定者,然推步无其题,不备列。此七题中求边角有未尽者,互按得之。

檈圆形者,两端径长、两腰径短之圆面。然必其应规,乃可推算。作之之术,任以两点各为心,一点为界,各用一针钉之,围以丝线,末以铅笔代为界之。针引而旋转,即成檈圆形。如图甲己午三点,如法作之,为丑午巳未檈圆,寅丑、寅巳为大半径,寅午、寅未为小半径,寅甲为两心差,己甲为倍两心差。甲午数如寅巳,亦同寅丑,己午如之;二数相和,恒与丑巳同。令午针引至申,甲申、申己长短虽殊,共数不易。甲午同大半径之数如弦,两心差如勾,小半径如股,但知两数,即可以勾股术得不知之一数。若求面积,以平方面率四00000000为一率,平圆面率三一四一五九二六五为二率,大小径相乘成长方面为三率,求得四率为檈圆面积。若求中率半径,大小半径相乘,平方开之即得。然自甲心出线,离丑右旋,如图至戌,甲丑、甲戌之间,有所割之面积,亦有所当之角度。

角积相求,爰有四术:

一曰以角求积,以半径为一率,所知角度正弦为二率,倍两心差为三率,求得四率为倍两心差之端,垂线如己酉。又以半径为一率,所知角度馀弦为二率,倍两心差为三率,求得四率为界度积线,引出之线如甲酉,倍两心差之端垂线为勾自乘。以引出之线,与甲戌、己戌和如巳丑大径者相加为股弦和,除之得较。和、较相加折半为己戌弦,与大径相减为甲戌线。又以半径为一率,所知角正弦为二率,甲戌线为三率,求得四率为戌亥边。又以小径为一率,大径为二率,戌亥边为三率,求得四率为辰亥边。又以大半径寅辰同寅丑为一率,半径为二率,辰亥边为三率,求得四率为正弦,对表得度。又以半周天一百八十度化秒为一率,半圆周三一四一五九二六为二率,所得度化秒为三率,求得四率为比例弧线。又以半径为一率,大半径为二率,比例弧线为三率,求得四率为辰丑弧线,与大半径相乘折半,为寅辰丑分平圆面积。又以大半径为一率,小半径为二率,分平圆面积为三率,求得四率为寅戌丑分檈圆面积。乃以寅甲两心差与戌亥边相乘折半,与寅戌丑相减,为甲戌、甲丑之间所割面积。此其理具本图及平三角、弧三角,其法至密。

二曰以积求角,以两心差减大半径馀得甲丑线自乘为一率,中率半径自乘为二率,甲戌、甲丑之间面积为三率,求得四率为中率面积,如甲氐亢。分檈圆面积为三百六十度,取一度之面积为法除之,即得甲戌、甲丑之间所夹角度,此其理为同式形比例。然甲亢与甲氐同长,甲戌则长于甲丑,以所差不多,借为同数。若引戌至心,甲丑甲心所差实多,仍须用前法求甲戌线,借甲戌甲心相近为同数求之。

三曰借积求积,以所知面积,如图之辛甲丑,用一度之面积为法除之,得面积之度。设其度为角度,于倍两心差之端如庚己丑。以半径为一率,己角正弦为二率,倍两心差为三率,求得四率为甲子垂线。又以半径为一率,己角馀弦为二率,倍两心差为三率,求得四率为己子分边。甲子为勾自乘,己子与大径相减馀为股弦和,除之得股弦较。和、较相加折半得甲庚线。又以甲庚线为一率,甲子垂线为二率,半径为三率,求得四率为庚角正弦,得度与己角相加为庚甲丑角。乃用以角求积法,求得庚甲丑面积,与辛甲丑面积相减馀如庚甲辛,又用以积求角法,求得度,与庚甲丑角相加,即得辛甲丑角。

四曰借角求角,以所知面积如前法取为积度,如丑甲丁。设其度为角度,于檈圆心如丁乙辛。以小半径为一率,大半径为二率,所设角度正切为三率,求得四率为丁乙癸角正切。对表得度,乃于倍两心差之端丙作丙丑线,即命丑丙甲角如癸乙丁之角度,乃将丙丑线引长至寅,使丑寅与甲丑等,则丙寅同大径。又作甲寅线,成甲寅丙三角形,用切线分外角法求得寅角,倍之为甲丙丑形之丑角,与丙角相加为丑甲丁角。此其理癸乙甲角度多于丑甲丁积度,为子乙癸角度。即以此度当前之补算辛甲庚者,盖所差无多也。

此四术内凡单言半径者,皆八线表一千万之数。图形尚无资料

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