杰克是一个标准的上班族，一天，他在自己的邮箱中发现一封奇怪的广告邮件，这封邮件除了赌球代理的广告以外，还有一条信息，说今天纽约尼克斯队将战胜菲尼克斯太阳队。杰克对这类广告从来都不在意，可是他却在体育新闻中发现尼克斯队如预料一样战胜了太阳队。在接下来的九天里，他都收到了同样的邮件。令人惊奇的是，邮件都做了正确的预测。杰克开始动心了，如果事先就能预测出比赛的结果然后再进行赌博的话，那肯定是可以赚到一笔的。正当他准备照着广告所说的信息打电话时，却发现在他旁边的亨利的电脑上显示着一封和自己邮件的预测结果截然相反的邮件。
猜对一次胜负的概率是1/2，连续十次都猜对的概率就是1/2的10次方，也就是1/1024，如何能让概率如此之小的事件发生呢？其实很简单，只需要让基数足够大就可以了。如果给1024个人平均发送胜负关系不同的预测，第2天再给第1天预测正确的512人发送胜负关系不同的结果，以此类推，那么在第11天的时候，就会有一个像杰克这样为预测而感到惊奇的人，如果这个基数在不断地扩大，那么会有越来越多的人被骗到。
连续十天都猜对的概率并没有发生变化，只不过随着基数的增大，这样的小概率事件也很容易出现在我们身边。在博弈中，预测某一事件发生的几率是我们需要掌握的常识，无论遇到什么情况，都要冷静地分析。大家一定要记住，只要不是绝对性的不可能，哪怕可能性非常非常小也都是有可能的。
生活中的概率论
生活中，有一些事件是相对独立的，也有一些事件是有联系的。我们在计算概率时，需要弄清楚不同事件之间的相互关系。
《超生游击队》在生活中可能会出现的对话：
宋丹丹：你就知道北戴河是个小子，要是个闺女呢？
黄 宏：可不准你再说这个话，要想着生男娃。再说了，海南岛、吐鲁番、少林寺，你都连着生了仨丫头片子，总不能再生个丫头片子吧。
宋丹丹：孩儿他爹，你说得对，这回肯定能给你生个大胖小子。
黄 宏：生个儿子，咱就能回家了。
1990年黄宏和宋丹丹一起表演的《超生游击队》红遍了大江南北，到现在已经过去很多年了，可是那些经典的台词依旧让人回味无穷。前面提到的并非出现在小品中，但是却极有可能出现在生活中。对于未来，人们总是愿意用最乐观的态度去推测。而且依据我们的常识来看，连着四胎都是女孩的概率相对于四胎中有男孩来说毕竟还是小很多的，所以，认为下一胎是个男孩并没有什么问题。
下一胎生男孩很像赌场中的一些情况，美式轮盘赌连续开了九次奇数，人们会觉得下一轮开偶数的概率会大一点，依据我们的记忆第十次开偶数的几率的确是大一点。连续生四胎都是女孩的确是比四胎中有男孩的概率低很多，但是在计算中得出的只是有男孩的概率，而不是第四胎是男孩的概率，但在前三胎已经确定是女孩的情况下，第四胎出现男孩和女孩的概率是一样的，无关的信息干扰了你。可是为什么人们会觉得轮盘赌下一局开偶数的几率大一些呢？当人们期待一件事发生时，这件事情一旦发生就很容易被人们记住，这一现象不属于博弈论或者概率论，而是心理学。
第一胎和第二胎、第一次轮盘赌和第二次轮盘赌等彼此之间不会相互影响的事件被称作独立事件，在概率的计算时不用考虑与此事件相独立的事件，就像前面的两次轮盘赌一样。除了独立事件以外，还有另一些事件是互相影响的，比如说等公车。在一些书里面，总会有人告诉你等公交车的时间不会影响你接下来等到公交车的概率，所以你应该毅然放弃等待，转而改乘其他交通工具。
为了便于理解，我们先将这个问题转换成等地铁，假设地铁之间的间隔时间是5分钟一趟，当你进入地铁站后，很不幸，地铁站里并没有显示下一趟车来的时间。但因为每隔5分钟就会有一列地铁驶来，所以随着你等待的时间逐渐趋向于5分钟，地铁到来的可能性也在逐渐增大，当你等了整整5分钟时，地铁依旧没有在你的面前出现的话，那肯定是线路故障或者出了什么其他的技术问题。
等公交车问题与等地铁大同小异，发车时两辆公交车的间隔时间也是确定的，只不过道路情况比轨道情况复杂得多。从某一特定站点来看，两辆公交车到达的时间间隔是很不一样的，但是只要不是出现特别大的交通拥堵，随着等待时间的增长，公交车到站的概率也在逐渐增大。
其实，人们会放弃等了很久的公交车而改乘其他交通工具的原因与猜测下一胎更可能是男孩儿是同样的道理，是我们的心理在影响着我们的判断。各种各样的情绪，比如说焦虑、渴望，都会影响到日常生活中自己的判断。这些属于人感性的一面是人类情感的自然表露，也是人类不可缺少的一部分。然而在博弈中，减少感情和情绪的影响，依据理性思维，才能让人做出相对准确的判断。博弈论中的一些知识就是让人们认识到这些对于事物或者规律的“一相情愿”会让人做出错误的判断。训练你的理性，才能让你看透隐藏在表面背后的情况，概率论的研究正是训练你理性的一种很好的方法。
博弈论是一门讲究理性，强调绝对理性的科学，在博弈中只有很好地利用自己的理性思维才能让你做出最优选择，才能让自己的利益达到最大化。人毕竟是感性和理性并存的，所以有时会产生感性和理性的冲突：人类为什么要博弈，这些理性的选择最后就只是为了在博弈中达到自己利益的最大化？实际上不完全是这样的，就像前面提到的《超生游击队》中的夫妇，他们也同样处在一场博弈之中，只不过他们需要选择的是不惜一切代价要个男孩还是为了家人的幸福留下遗憾，夫妇过于想要个男孩，以至于没有考虑到他们的代价和承担的风险。也许处在博弈中的每个人都需要有一颗温暖的、渴望幸福的心灵，但是与此同时他们也应该是冷静的、理性的。
蒙提霍尔悖论
信息不对称会蒙蔽你的双眼，可是过多的信息同样会欺骗你。当你面对这些信息时，需要分清哪些是对你有用的信息，哪些是除了影响你做出正确判断以外别无他用的信息。
莉莉参加了一个游戏节目，舞台上有三扇门：一扇门后面是一万元的奖金，另外两扇门后面则什么都没有。主持人要求莉莉在三扇门中选出一扇门来：如果选中有奖金的，奖金就归莉莉所有；如果选到空门，莉莉将一无所获。
莉莉选择一号门，这时主持人从二号门和三号门中开启了一扇门，后面是空的。
这时主持人告诉莉莉她可以选择换一扇门，并且询问莉莉要不要换一扇门。
莉莉到底该不该更换自己的选择呢？
这个问题是概率论中有名的三门问题，也被称作蒙提霍尔悖论。自从三门问题被提出后，关于这个问题的疑问和争论就没有真正停止过。直到今日，应该换和不应该换这两种对立的答案仍然各自拥有不少的支持者。
讨论仍然在持续，但在最初产生三门问题的节目中，多数参与者都选择不换，他们认为主持人是在有意地误导他们。
不管主持人是否在有意误导参与者，我们先用博弈论和概率论的知识来分析一下，在遇到这种情况时要不要换门呢？
认为不应该换的人觉得当主持人开启一扇门之后，两扇门中奖的概率各为1/2，在这种情况下，换门并不会提高他们中奖的概率，因而没有任何利益会激励他们去做出不同的选择，所以他们会选择不换。这一解释看起来是正确的，当有三扇门时，每扇门觉得中奖概率是1/3，而当只剩下两扇门的时候，每扇门的中奖概率是1/2。既然都是1/2，那就没有必要换门了。
认为应该换的人则觉得当有三扇门的时候，莉莉选择了其中的一扇门，这扇门后中奖的概率是1/3，也就是说莉莉有可能选中奖金，也有可能选中空门1或者空门2（为讨论方便，将两扇空门分别标记为空门1和空门2）。当莉莉选中奖金时，更换就失败了；当莉莉选中空门1时，更换就中奖了；当莉莉选中空门2时，更换也中奖了，更换中奖的概率是2/3，所以应该换。这一看法虽然在逻辑上并没有什么问题，但是却与人们的常识不符，为什么相同的两扇门，一个中奖概率是1/3，另一个则是2/3呢？
在这里，很多人都提出了疑问：主持人究竟知不知道门背后的情况？如果主持人不知道门后的情况，而只是做出随机的选择，那么他同样既可能选择到大奖也有可能选择到空门，如果是这样的话，剩下两扇门的中奖概率应该都是1/3。他和莉莉还有剩下的门就像三个彼此不同的竞争对手一样，已经剔除掉了一个，剩下两个人获得大奖的概率同样为1/2，所以不应该换。如果主持人知道门后的情况，他必然会选择剩下的两扇门中的空门，剩下的那扇门后面有大奖的概率就提高到了2/3，因为莉莉可以把剩下两扇门当成是一个选择，它们共同占有2/3的可能，剔除其中一个错误的，剩下的那扇门依旧拥有2/3的可能，所以应该换。
虽然主持人是否知道门背后的情况会有上述影响，而且在问题的叙述中的确没有提到，但是作为理性人来讲，必须考虑到这场博弈隐藏着的条件，那就是若想要博弈继续下去，主持人只能开一扇没有奖的空门，因为如果他开启的门后是大奖的话，后面的选择就没有必要出现了。
实际上，正如前面说到的，虽然应该换这个答案与人们的一些常识不符，但是在逻辑上正确就是正确的。莉莉在这时能做出的最优选择就是换一扇门，这个答案得到了大多数人的支持。关于这个答案的解释也有很多，但是不同的解释也都出现了一些问题。这里我们选取一种比较特殊的方法——蒙上你的眼睛来解释为什么我们应该换。
假如你遇到和莉莉一样的情况，可以换一种角度来看待这个问题，蒙上自己的眼睛，不去看主持人选择的那扇门，也不去管那扇门后面有什么。也就是说，在你面前，你可以继续选择一号门，也可以选择二号门或三号门，虽然二号门或者三号门有一扇门已经被开启，并且这扇门可能中奖也可能是空门，可是当你不知道具体情况时，仍然可以看做是两扇门。因为如果主持人选中的是两扇门中有奖的那扇，无论你怎么选择，游戏都将中止，这种情况出现的概率是1/3。这时你当然应该选择二号门和三号门，因为选择这两扇门的中奖概率是继续选择一号门的两倍。
无论是在游戏中，还是在生活中，人们通常喜欢占有更多的信息，但是有些信息是虚假的或者是无关的，所以在拥有大量信息以后要依靠科学的手段对其进行理性分析。就像在三门问题中大多数人都把注意力集中到了主持人开的那扇门上，而那扇门本来只是无关信息。
抛起的一枚铜板
概率并不总是一成不变的，它往往会随着条件的变化而改变。在生活中，我们不应该因为现在计算出的概率而畏首畏尾，而是应该考虑到未来的发展。
经济学把参与投资交易的人分成两类，一类是风险爱好者，另一类是风险厌恶者，通过这种划分来区别他们对风险的不同偏好。风险爱好者愿意承担一定风险来谋求更大的利益，而风险厌恶者则试图减少风险来保证自己财产的安全。
风险爱好者和风险厌恶者的区分在博弈中也是有作用的，因为作为理性的个体会利用事件发生的概率来选择最优决策。概率是一个确定的数字，但是对于不同的人来说同样的概率却可以有不同的解读。对于一个风险爱好者来说，也许35%的可能就足够让他行动了，而对于风险厌恶者来说，75%也可能还不能令他下定决心。从经济学的角度来讲这两种人没有好坏之分，他们都是理性的个体，只不过对于风险和收益的不同理解导致了他们不同的投资选择。但是在生活中，事件发生的概率并不总是一定的，因为生活中的大部分博弈都是不完全信息博弈，这点在第一章我们曾经提到过。也就是说，在很多博弈中，参与博弈的个体并不能准确地计算出自己成功的概率，而概率也会随着信息的增加和事情的向前发展而不断地变化。
如果将一枚铜板抛向空中，上面是正面的概率有多少？
50%，可是铜板也有刚好立着的可能……
小于50%，可是如果铜板是不均匀的，偏偏反面那一边重一些……
大于50%，可是如果这枚铜板被设计成两面都是正面……
100%，可是如果在真空中反面直直地抛上去……
没有可能，可是如果铜板被抛到水中……
这是一道折磨人的题目。但是对于我们来说，生活就是充满了各种各样的可能和各种各样的变动。昨天所计算出的概率在今天可能已经变化很多，所以我们需要适应这种折磨，并且推动这种变动向着对自己有利的方向发展。
对每个人来说，成功就是这一枚抛起的铜板，充斥着各种各样的可能性，而你却永远不可能探知全部，因为当你在探知的时候，这枚铜板已经滑向了下一个时点。概率论不可能把未来的一切都算好，让你在做每个选择的时候都挑选出其中可能性最大的那个。即使你可以选择到成功可能最大的选项，可这有可能并不是你参加博弈的目的。
