许多年来他都是这样坚定地认为着。那些最伟大的公理、定理与推论，都是精致完美、绝无瑕疵的石料，彼此重叠，相互榫合，最终成为一座最为纯粹，也最为完美的通天巨塔。
“纯粹性上的完美是什么意思呢？”角谷问道。
“纯粹是一种形式上的完美。”邦彦想了想，回答说，“数学上的命题要么是真的，要么就一定是假的，不会有模棱两可的，或者是既对又不对的断言存在。”
“判断命题的对与错，其实是一个比较的过程。”角谷说，“当面对新的命题的时候，我们往往将它与之前我们所掌握的知识系统进行比较。如果新的命题相容于我们之前的知识，那么我们就称之为真，反之则是假。因此，数学命题的真假，仅仅是对于数学体系内而言才有价值。但只要在命题上设置一些语言陷阱，就能很轻易地构建出既不是真，又不是假的奇特命题。”
“要怎么构造？”邦彦有些惊奇地问。
“我说的这个命题是假的。”角谷狡黠地笑了笑，“挂谷君，告诉我，我刚才说的这个命题是真的还是假的？”
说谎者悖论。邦彦紧紧地皱起了眉头。如果假定这个命题是真，那么根据命题本身的叙述，则这个命题是假的；但如果假设这个命题是假的，却又会推论出命题是真的这个结论。自相矛盾的命题，如同一个循环不断、无限扣死的死结，让他竟然找不到可以下手去解的地方。
“可这不是数学命题，是逻辑陷阱！”邦彦脑子里突然一个激灵，脱口而出。
“其实都一样。”角谷微微一笑，“数学上的所有公理和定理，都是不可用于证明自身是否正确的。我们的数学体系，其实都建筑在这些不可自证的公理系统之上，如同悬浮在广阔海洋上的冰山，看上去巍峨庄严，但其实并不稳固。因此，想要从这样的体系中找到这样模棱两可的命题，是完全可能的。
“这就是著名的哥德尔不完备定理：任何蕴含皮亚诺算术公理的系统中，总存在着既无法证明为真，也不能证伪的命题。证明的方法简单却巧妙——只要构造出‘命题的不可自证性是否是不可自证的’这样的问题，那么，便如同说谎者悖论一样，无论假设这个问题是否可证，得到的答案都是相反的。
“这就是如今我们所知的数学。”角谷似乎轻轻地叹息了一声，一片云翳遮住了太阳，房间里暗了下来。半明半暗的光线中，男人的神情透着些萧索，“它不仅不是完备的，也不是相容的，甚至是不可判定的。就像在黑暗的荒野中前行，除了手脚可感的有限的坚实，其余都是我们所不可预知的……”
“那这样的话，数学还有什么意义呢……”邦彦喃喃道。
“也并非全然没有，”角谷笑笑，“无论数学本身如何发展，也终究是属于人类的学科——正如我们的眼睛只能看到波长三百八十到七百四十纳米之间的光，耳朵只能听到二十至两万赫兹的声音一样，以人的视角来理解世界的学科，不可能没有局限。
“何况哥德尔的不完备定理已经发表了八十多年。而在之后的时间里，仍然不断有全新的分支学科或者数学工具被发掘出来——比如代数几何和里奇流。虽然所有人都知道这些新的学科是不完美的，因为它们的系统都不完备。但这并不能否定它们的意义——就算只是建立在不可自证的公理的无根浮冰上的瞭望塔，每增高一分，便总能看得更加遥远一点。”
这顿早餐吃得有些漫长。等到邦彦收拾好碗筷和一些角谷丢弃的、写满了字的草稿纸，端着托盘走下楼梯的时候，太阳已经升得很高了。京都的盛夏异常燠热，阳光照得平坦的庭院里亮晃晃的。只有屋后的树林里仍旧一片阴冷，乌黑的树阴如同没有人下水的池塘。离准备午饭的时间还有些早，邦彦将托盘交给厨房里负责洗碗的年轻女工，转身回到自己房间并掩上了门。
邦彦展开手里的几页草稿纸。角谷的笔迹纤秀细密，满满当当地占据了几乎全部的篇幅，无数的数学符号充斥其中，看起来像是连篇累牍的证明。他想细细看下去，但很快就皱起了眉头——角谷的手稿似乎又与普通的数学证明过程不一样。虽然看不明白，但邦彦隐隐地感到它完全不像教科书中的证明那样流畅简洁，充满自然的美感。角谷的手稿晦涩而抽象，字里行间仿佛隐隐凝聚着乌云，有形有质，挥之不散。
他看了一会儿，将其中的一页纸翻过来，不禁惊讶地睁大了眼睛——纸的背后，用极粗的钢笔涂写着什么。虽然重重叠叠有些看不清楚，但还是能看得出那是两行极短的文字。墨迹几乎深透纸背，显然写得极其用力，仿佛是不屈而深沉的呐喊。邦彦仔细看了许久才辨认出来，白色的纸面上，力透纸背地写着两行字，写着无数行同样的两行字——
Wirmüssen wissen.
Wir warden wissen.
两行简短的文字如同阳光般穿透脑海。他认识它们，在那些他凭着兴趣阅读数学史的夜晚见过它们——那是1930年，六十八岁的大卫·希尔伯特卸任之时，在故乡柯尼斯堡的集会上所做的最后一次演讲：
“……我们不可以相信现今那种人，他们带着一副深思熟虑的表情，以自命不凡的语调预言文化衰落，自我陶醉于不可知当中。对我们而言没有什么不可知，并且按我的观点，对于自然的科学也根本没有。相反，代替那愚蠢的不可知，我们的口号是——”
