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第1章 升官题

传说唐代尚书杨损,廉洁奉公,任人唯贤。有一次,要在两名小吏中提升一人,主管提升工作的官员感到很难决断,便请示杨损。杨损认为,作为一个官员,不仅要有高尚的品德,还要有一定的文化水平。于是,他说:“一个官员应具备的一大技能是速算。让我出题来考考他们,谁算得快就提升谁。”杨损出了一道题:

“有人在林中散步,无意中听到几个强盗在商讨如何分赃。他们说,如果每人分6匹布,则余5匹;每人分7匹布,则缺少8匹。试问共有几个强盗几匹布?”两个小吏听过题目后,便用筹算解联立一次方程组。后来,先得出正确结果的小吏果真升了官,大家心服口服。

这个故事反映出我国古代人民对于解联立一次方程组的熟练程度。事实上,在2000多年前的《九章算术》中,已系统地叙述了联立一次方程组的解法,这是中国古代数学的杰出贡献之一。

《九章算术》是我国至今有传本的一部经典数学著作,内容极为丰富,它几乎集中了过去和当时的全部数学知识,将246个问题分为九章,所以叫做《九章算术》。

《九章算述》不是出自某一个人的手笔,不是一个时代的作品。它是经过历代名家的修订和增补,才逐渐成为定本的。它成书于何时,目前学术界尚无统一结论,据推测起码在公元1世纪之前。《九章算术》对我国以及一些外国的数学发展有很大影响,直到16世纪我国的数学著作大都还是受它的体例影响。

一元一次方程问题在古埃及时已经出现。巴比伦人已经知道某些特殊的二次、三次方程的解法,例如:两个正方形面积之和是1000,其中一个边长是另一个边长的23少10,问各长多少?这相当于解联立方程

x2+y2=1000,y=12x-10。

当时实际的解只是由观察某些简单的数字关系而得到答案。

《九章算术》的第8章“方程”,给出了联立一次方程组的普遍解法,并且使用了负数,这在数学史上具有非常重要的意义。

我国古代是用算筹来运算的,未知数不用符号表示,只是将各个系数用算筹依次布列成方阵的形式。“程”是变量的总名,也有计量、考核、程式的意思。“方程”的名称,就来源于此。

《九章算术》第8章的第1题为:

“今有上禾三秉、中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?

“禾”指黍米,一“秉”即一捆,“上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗”就是说:三捆上等黍米,两捆中等黍米,一捆下等黍米,一共可打出黍米谷39斗。

设上、中、下禾,每捆各出谷x、y、z斗,则用现代的方程来表达,可得

3x+2y+z=39,

2x+3y+z=34,

x+2y+3z=26。

在《九章算术》中列出的方程形式为:

在方程中只能看到系数,看不到未知数,文字采用直排,而且阅读时是从右到左的。由于这种方程中,未知数不用符号表示出来,实际上就是现代的分离系数法。书中给出的解法是联立一次方程组的普遍解法。除了符号、名词和计算工具不同外,和现代使用的消元法实质一样。

还有四元及五元的方程组,也是用类似的方法来解的。

在国外,线性方程组的完整解法,直到17世纪末才由微积分的发明人莱布尼茨着手拟定。可见,从时间上来说,《九章算术》的解法实是在世界数学史上一大光辉成就,值得中国人自豪!

自从《九章算术》提出了多元一次联立方程后,多少世纪没有显著的进步。贾宪、秦九韶、李治等人曾研究过一元高次方程。元朝杰出数学家朱世杰集前人之大成,建立了四元高次方程组理论,并称为“四元术”。他用天元、地元、人元、物元表示四个未知数,相当于现在的x、y、z、u。朱世芝的《四元玉鉴》一书,举例说明了一元方程、二元方程、三元方程、四元方程的布列方法和解法。其中有的例题相当复杂,数字惊人的庞大,不但过去从未有过,就是今天也很少见。可见朱世杰已经非常熟练地掌握了多元高次方程组的解法。

在外国,多元方程组虽然也偶然在古代的民族中出现过,例如巴比伦人借助数表处理过某种二元二次方程组,但较系统地研究却迟至16世纪,1559年,法国人彪特才开始用不同的字母A,B,C,……来表示不同的未知数。而过去不同未知数用同一符号来表示,以致含混不清。正式讨论多元高次方程组已到18世纪,由探究高次代数曲线的交点个数而引起。1764年,法国人培祖提出用消去法的解法,这已在朱世杰之后四五百年了。

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