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第2章 兔子数列

由于研究兔子繁殖问题,引出了一个极为奇妙而重要的数列。

有位养兔专业户想知道兔子繁殖的规律,于是他围了一个栅栏,把一对刚出生的小兔子关在里面。已知一对小兔子出生后两个月就开始生兔子,以后则每月可再生一对,假如不发生伤亡现象,满一年时,栅栏内有几对兔子呢?

现在,我们来帮他算一算。为了寻找规律,我们用“成”字表示已成熟的一对小兔子,“小”表示未成熟的一对小兔子,因为一对小兔子生下两个月就开始生小兔子,所以我们可以画出以下图表。

可见,头6个月的兔子的对数是1,1,2,3,5,8。

这个数列有什么规律呢?稍加观察就可发现它的特点:从第三项起,每一项都等于其前两项之和。根据这个特点,我们就可以把这个数列继续写下去,从而得到一年内兔子总对数

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144。

可见,满一年时,一对刚出生的兔子可变成144对。

斐波那契是意大利人,12世纪、13世纪欧洲数学界的中心人物。他曾到埃及、叙利亚、希腊、西西里、法国南部等地游历,回国后便将所搜集的算术和代数材料加以研究,编写成《算盘书》。该书对欧洲大陆产生了很大影响,它用大量的题目说明理论内容。兔子繁殖问题就是其中的一题。所谓斐波那契数列就是指由兔子繁殖问题引出的数列

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

其中an=an-1+an-2

斐波那契数列也可叫兔子数列,该数列中的每一项都称为斐波那契数。

它的通项公式为

an=151+52n-1-52nn∞αnan+1=1-52n。斐波那契数列有着广泛的应用。它和现代的优选法有密切关系。所谓优选法就是,尽可能少做试验,尽快地找到最优生产方案的数学方法。70年代经著名数学家华罗庚的倡导,优选法在我国得到广泛的推广和应用,取得了很多成果。优选法中有个“0.168法”,所谓“0.168”就是5-12的近似值。因此,人们就可用相邻两个斐波那列数之比来近似代替0.168。在这基础上,人们还创造了一种“斐波那契法”,来寻找最优方案。

最使人们感到惊奇的是,自然界很多现象都与斐波那契数列有关。科学家们发现蜜蜂的繁殖速度也符合斐波那契数列。除了动物的繁殖外,植物的生长也与斐波那契数有关。如果一棵树每年都在生长,那么,一般说来,第一年只有主干,第二年有2枝,第三年有3枝,最后是5枝、8枝、13枝等,每年的分枝数正好为斐波那契数。还有一些学者发现自然界中花朵的花瓣数目也与斐波那契数有关。生物学中的“鲁德维格定律”,就是斐波那契数列在植物学中的应用。

对于以上现象怎样解释呢?是偶然的巧合吗?大多数科学家认为,决不是巧合。是这些动、植物也懂得优选法吗?不是!其实道理很简单,自然界的生物在进化过程中都不自觉地服从着一条原则——“适者生存”,只有按照最优方案发展,才能很好地生存下去,否则就会慢慢被淘汰。

关于世界著名魔术大师兰迪有个小故事。他有一块边长为13分米的正方形地毯,想把它改成8分米宽,21分米长的地毯。于是,他找来一位工匠,请他加工。大家想一想,本来地毯面积是13×13=169,加工后地毯的面积是8×21=168。这位工匠当然无法完成。于是,他对兰迪说;“先生,我不是魔术师,恕我无法加工。”这时,聪明的兰迪教他先按左图中的方法割成两块,再重新拼凑一下,就得到了一块8×21(平方分米)的地毯(如下图)。

兰迪不愧为魔术大师,169平方分米分明比168平方分米大,这差数1平方分米变到哪里去了呢?读者如果自己动手,用硬纸剪割拼凑一下,也许会发现,当你将剪下的四个小块拼成长方形时,在对角线中段会出现微小的重叠,正是这种重叠,造成面积的误差。

十分奇妙,上面切割拼凑过程中碰到的四个数字5,8,13,21正好是斐波那契数。并且132=8×21+1,82=5×13-1。

看来,兰迪掌握了斐波那契数列的一条重要原则:

an2=an-1·an+1±1(n≥2)

读者能不能根据这条性质,模仿兰迪也设计出一个几何魔术呢?

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