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第5章 数学之谜(5)

4.“韩信点兵”之谜

“韩信点兵”传说是我国汉朝名将韩信计算士兵数目的独特方法,先于外国约五百年。他不让士兵报数,也不是五个。十个地去数,而是让士兵列队行进,先是每排3人,然后每排5人,最后每排7人,只将所余的士兵数站着便知士兵的总数,写成题目就是:

“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问此物最小几何?”

答曰:“二十三。”

术曰:“三三数之剩二置一百四十,五五数之剩三置六十三,七七数之剩二置三十,并之得二百三十三,以二百十减之即得。”

分析:所求的数N应该是5和7的倍数,同时被3除后余2;是3和7的倍数,同时被5除后余3;是3和5的倍数,同时被7除后余2,同时满足上述三个条件的数中最小的数。

是5和7的倍数,同时被3除后余1的数是70。则余2的数就是70×2=140;是3和7的倍数,同时被5除余1的是21,则余3的数就是21×3=63;是3和5的倍数,同时被7除后余1的数是15,则余2的数就是15×2=30。

所以,N=70×2+21×3+15×2-105×2=233-310=23

5.古代升官试题

传说唐代尚书杨损,廉洁奉公,任人唯贤。有一次,要在两名小吏中提升一人,主管提升工作的官员感到很难决断,便请示杨损。杨损认为,作为一个官员,不仅要有高尚的品德,还要有一定的文化水平。于是,他说:“一个官员应具备的一大技能是速算。让我出题来考考他们,谁算得快就提升谁。”杨损出了一道题:

“有人在林中散步,无意中听到几个强盗在商讨如何分赃。他们说,如果每人分6匹布,则余5匹;每人分7匹布,则短少8匹。试问共有几个强盗几匹布?”两个小吏听过题目后,便用筹算解联立一次方程组。后来,先得出正确结果的小吏果真升了官,大家心服口服。

这个故事反映出我国古代人民对于解联立一次方程组的熟练程度。事实上,在2 000多年前的《九章算术》中已系统地叙述了联立一次方程组的解法,这是中国古代数学的杰出贡献之一。

《九章算术》是我国至今有传本的一部经典数学著作,内容极为丰富,它几乎集中了过去和当时的全部数学知识,将246个问题分为九章,所以叫做《九章算术》。

《九章算术》不是出自某一个人的手笔,不是一个时代的作品。它是经过历代名家的修订和增补,才逐渐成为定本的。它成书于何时目前学术界尚无统一结论,据推测起码在公元1世纪之前。《九章算术》对我国以及一些外国的数学发展有很大影响,直到16世纪我国的数学著作大都还是受它的体例的影响。

《九章算术》的第八章“方程”,给出了联立一次方程组的普遍解法,并且使用了负数,这在数学史上具有非常重要的意义。

我国古代是用算筹来运算的,未知数不用符号表示,只是将各个系数用算筹依次布列成方阵的形式。“程”是变量的总名,也有计量、考核、程式的意思。“方程”的名称,就来源于此。

《九章算术》第八章的第一题为:

“今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?”

“禾”指黍米,一“秉”即一捆,“上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗”就是说:三捆上等黍米,两捆中等黍米,一捆下等黍米,一共可打出黍米谷39斗。第八章中还有四元及五元的方程组,也是用类似的方法来解的。

在国外,线性方程组的完整解法,直到17世纪末才由微积分的发明人莱布尼茨着手拟定。可见,从时间上来说,《九章算术》的解法实是在世界数学史上一大光辉成就,值得中国人自豪!

自从《九章算术》提出了多元一次联立方程后,多少世纪没有显著的进步。贾宪、秦九韶、李治等人曾研究过一元高次方程。元朝杰出数学家朱世杰集前人之大成。建立了四元高次方程组理论,并称为“四元术”。他用天元、地元、人元、物元表示四个未知数,相当于现在的x、y、z、u。朱世芝的《四元玉鉴》一书,举例说明了一元方程、二元方程、三元方程、四元方程的布列方法和解法。其中有的例题相当复杂,数字惊人的庞大,不但过去从未有过,就是今天也很少见。可见朱世杰已经非常熟练地掌握了多元高次方程组的解法。

在外国,多元方程组虽然也偶然在古代的民族中出现过,例如古巴比伦人借助数表处理过某种二元二次方程组,但较系统地研究却迟至16世纪,1559年法国人彪特才开始用不同的字母A,B,C……来表示不同的未知数。而过去不同未知数用同一符号来表示,以致含混不清。正式讨论多元高次方程组已到18世纪,由探究高次代数曲线的交点个数而引起。1764年法国人培祖提出用消去法的解法,这已在朱世杰之后四五百年了。

6.五家共井

我国最早提出不定方程问题,它由“五家共井”引起。古代,没有自来水,几家合用一水井是常见的事。《九章算术》一书第八章第十三题就是“五家共井”问题:

今有五家共井,甲二绠不足,如乙一绠;乙三绠不足,如丙一绠;丙四绠不足,如丁一绠;丁五绠不足,如戊一绠;戊六绠不足,如甲一绠。如各得所不足一绠,皆逮。问井深、绠长各几何?

用水桶到井中取水,当然少不了绳索,“绠”就是指“绳索”。原题的意思是:

五家共用一水井。井深比2条甲家绳长还多1条乙家绳长;比3条乙家绳长还多1条丙家绳长;比4条丙家绳长还多1条丁家绳长;比5条丁家绳长还多1条戊家绳长;比6条戊家绳长还多1条甲家绳长。如果各家都增加所差的另一条取水绳索,刚刚好取水。试问井深、取水绳长各多少?

我国古代数学家在《九章算术》的基础上对不定方程做出了辉煌的成绩。“五家共井”问题是后来百鸡术及大衍求一术的先声。

“五家共井”问题,曾引起世界上很多数学家的注视。在西方数学史书中,把最早研究不定方程的功绩归于希腊丢番都。其实,他在公元250年左右才研究这些问题,要比我国迟200多年。

公元6世纪上半期,张丘建在他的《张丘建算经》中有一道百鸡问题:今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一。凡百钱,买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何?

意思是,如果1只公鸡值5个钱;1只母鸡值3个钱;3只小鸡值1个钱。现用100个钱,买了100只鸡。问公鸡、母鸡、小鸡各多少?

数学史家评论说,一道应用题有多组答案,是数学史上从未见到过的,百鸡问题开了先例。《张丘建算经》中没有给出解法,只说:“术曰:鸡翁每增四,鸡母每减七,鸡雏每益三,即得。”意思是:如果少买7只母鸡,就可多买4只公鸡和3只小鸡。因为7只母鸡值钱21,4只公鸡值钱20,两者相差3只小鸡的价格。只要得出一组答案,就可推出其余两组。但这解法怎么来的?书中没有说明。因此,所谓“百鸡术”即百鸡问题的解法就引起人们的极大兴趣。

稍后,甄鸾在《数术记遗》一书中又提出了两个“百鸡问题”,题目意思与原百鸡问题相同,仅数字有所区别。到了宋代,著名数学家杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中也引用了类似的问题:

“钱一百买温柑、绿桔、扁桔共一百枚。只云温柑一枚七文,绿桔一枚三文,扁桔三枚一文。问各买几何?”

到了明清时代,还有人提出了多于三元的“百鸡问题”。不过,各书均与《张丘建算经》一样,没有给出问题的一般解法。

7世纪时,宋代有人对百鸡问题提出另一种解法,但只是数字的凑合。到了清代焦循在他的《加减乘除释》一书中指出其错误。之后,不断有人提出新的解法,但都没有完全得到普遍解决此类题目的通用方法。例如丁取忠在他的《数学拾遗》中给出一个比较简易的解法:先设没有公鸡。用100个钱买母鸡和小鸡共100只,得母鸡25只、小鸡75只。现在少买7只母鸡,多买4只公鸡和3只小鸡,便得第一组答案。同理可推出其余两组。直到19世纪,人们才把这类问题同“大衍求一术”结合起来研究。

百鸡问题是一个历史名题,在世界上有很大影响。在国外数学书中常可看到类似的题目。

7.仙鹤图之谜

传说宝华寺曾藏有一幅鲜为人知的仙鹤图。这仙鹤图为数海法师所作,在他临终前秘传给他的一位弟子,并嘱咐他死后49天才能打开。数海法师圆寂后,这位弟子总想打开图看看,但又不愿违背师父遗嘱。过了42天,实在坚持不下去了,当天半夜,他打开图一看,原来是张仙鹤图。画面上有7棵松树,每棵松树上均有7只仙鹤,松树下面写了一个黑色的“七”字,但有一棵松树例外,这松树上一只仙鹤也没有,松树下面写了一个红色的“七”字。

红色的“七”字是什么意思呢?弟子们无法理解。不过,因为数海法师神通广犬,精通算术。人们相信,图中必有奥秘。后来,有了负数概念,有人猜测,红色的“七”字,表示负数(-7)。但是,松树上有(-7)只仙鹤,又是什么意思呢?始终是个谜。自从秦始皇焚书坑儒后,宝贵的仙鹤图失传,这事情几乎被人们遗忘了。但是,过了二千多年,人们又想想了仙鹤图,这与下面的椰子问题有关。

5个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上,发现那里有一大堆椰子。由于旅途劳累,大家顾不上椰子,很快就睡觉了。第一个水手醒来后,把椰子分成五堆,余一只给了猴子,自己藏了一堆又去睡觉了。第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来,和第一个水手一样,把椰子分成五堆,恰多一只给猴子,私藏一堆,再去入睡。天亮以后,大家发现椰子已剩下不多了,各人心里有数,但谁也不说。为了公平,大家把余下的椰子又分成五堆,每人得一堆,这时,巧得很,又余下一只,再给猴子。试问原先共有几只椰子?

这是一道世界有名的趣味数学题。

设最初共有椰子x只,天亮后大家一起分配时每人分得y只。

世界著名物理学家李政道在访问中国科技大学时,曾在少年班提到这个题目,并介绍了怀德海的解法。

怀德海是英国数理逻辑专家,对于上述椰子问题,他给出了一个异乎寻常的解法。

首先,从方程(*)可看出,如果某数x1是方程的一个解,则x1+15625也是方程的解。这一点我们也可用下面的方法来考虑,由于原有的椰子曾被连续6次分成5堆,因此如果某数是该方程的一个解时,则把此数加上5(上标6)(5(上标6)=15625)后,仍旧是方程的解。通常人们解不定方程应用题,总是只注意它的正整数解,可是怀德海却与众不同,他的方法异乎寻常,他先借助负整数来帮忙,在找到一个负整数解之后,再过渡到正整数。就像在几何中引用辅助线、辅助角一样。

在方程(*)中,设y=-1,则可得:

1024x=-4096,∴ x=-4。

既然-4是这个不定方程的一个特解,则-4+15 625也是方程的解。可见,所求的椰子数应是:

-4+15625=15621(只)。

怀德海自己说,他是用下面的想法“领悟”出-4是不定方程的一个特解的:

假定当初有-4只椰子,则在其中硬拿出一只来给猴子后,根据正、负数减法,还剩下-4-1=-5(只),分成五堆,每堆便有-1只椰子。私自藏起一堆之后,还有四堆,每堆有-1只椰子,所以一共仍然是(-4)只椰子,这正好仍然回到没有分以前的情况。照这样分法,不仅5次、6次……可以一直分下去,都符合题目之要求。因此,在这个题目中,-4是一个神奇的数。

按照常理来说,每堆椰子数为“负数”是毫无意义的,但从纯数学的观点来看,却是能满足题中分配方法的,并且是能帮助解决问题的。它正像物理学中的“负质量”或“虚功”一样,在解决具体问题时是有用的。

怀德海的巧妙解法传到我国后,人们想起2000年前的仙鹤图。既然,一堆椰子的数目可以设想是负数,那么,一棵松树上的仙鹤的数目,也可设想为负数。可以推测,数海法师早就掌握了利用负数解决问题的高度技巧。

8.掉进漩涡里的数

三十多年前,日本数学家角谷静发现了一个奇怪的现象:一个自然数,如果它是偶数,那么用2除它;如果商是奇数,将它乘以3之后再加上1,这样反复运算,最终必然得1。

比如,取自然数N=6,按角谷静的作法有:6÷2=3,3×3+1=10,10÷2=5,5×3+1=16,16÷2=8,8÷2:4,4÷2=2,2÷2=1,从6开始经历了3→10→5→16→8→4→2→1,最后得1。

找个大数试试,取N=16384。

16384÷2=8192,8192÷2=4096,4096÷2=2048,2084÷2=1024,1024÷2=512,512÷2=256,256÷2=128,128÷2=64,64÷2=32,32÷2=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1,这个数连续用2除了14次,最后还是得1。

这个有趣的现象引起了许多数学爱好者的兴趣,一位美国数学家说:“有一个时期,在美国的大学里,它几乎成了最热门的话题,数学系和计算机系的大学生,差不多人人都在研究它。”人们在大量演算中发现,算出来的数字忽大忽小,有的过程很长,比如27算到1要经过112步,有人把演算过程形容为云中的小水滴,在高空气流的作用下,忽高忽低,遇冷成冰,体积越来越大,最后变成冰雹落了下来,而演算的数字最后也像冰雹一样掉下来,变成了1!数学家把角谷静这一发现,称为“角谷猜想”或“冰雹猜想”。

把它叫猜想,是因为到目前为止,还没有人能证明出按角谷静的作法,最终必然得1。

这一串串数难道一点规律也没有吗?观察前面作过的两串数:

6→3→10→5→16→8→4→2→1;

16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1。

最后的三个数都是4→2→1。

为了验证这个事实,从1开始算一下:

3×1+1=4,4÷2=2,2÷2=1。

结果是1→4→2→1,转了一个小循环又回到了1,这个事实具有普遍性,不论从什么样自然数开始,经过了漫长的历程,几十步,几百步,最终必然掉进4→2→1这个循环中去,日本东京大学的米田信夫对从1到10995亿1162万7776之间的所有自然数逐一做了检验,发现它们无一例外,最后都落入了4→2→1循环之中!

计算再多的数,也代替不了数学证明。“角谷猜想”目前仍是一个没有解决的悬案。

其实,能够产生这种循环的并不止“角谷猜想”,下面再介绍一个:

随便找一个四位数,将它的每一位数字都平方,然后相加得到一个答数;将答数的每一位数字再都平方,相加……一直这样算下去,就会产生循环现象,现在以1998为例:

1(上标2)+9(上标2)+9(上标2)+8(上标2)=1+81+81+64=227,

2(上标2)+2(上标2)+7(上标2)=4+4+49=57,

5(上标2)+7(上标2)=25+49=74,

7(上标2)+4(上标2)=49+16=65,

6(上标2)+5(上标2)=36+25=61,

6(上标2)+1(上标2)=36+1=37,

3(上标2)+7(上标2)=9+49=58,

5(上标2)+8(上标2)=25+64=89。

下面再经过八步,就又出现89,从而产生了循环。

回数猜想是数学“黑洞”吗?

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