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第2章 蜂房中的数学

众所周知,蜂蜜是由辛勤的小蜜蜂们酿出来的,但你是否注意过蜜蜂产蜜的蜂房呢?若你仔细地观察过蜂房,你便会由衷地发出惊叹:“蜂房的结构可真是大自然中的奇迹啊!”从正面看上去,蜂房的蜂窝全是由很多大小一样的六角形组成的,并且排列得十分整齐;而从侧面看,蜂房由很多六棱柱紧密地排列在一起而构成的;若再认真地观察这些六棱柱的底面,你会更加惊讶,它们已不再是六角形的,不是平的,也不是圆的,却是尖的,是由三个完全相同的菱形构成的。

蜂窝这样奇妙的六角形结构早就引起了人们的注意:为何蜜蜂要把它的蜂窝做成六角形的呢?为何不做成三角形或正方形的呢蜜蜂没有学过镶嵌理论,但是正像自然界中的许多事物一样,昆虫和兽类的建筑常常可用数学方法进行分析。自然界用的是最有效的形式——只需花费最少能量和材料的形式。不正是这一点把自然界和数学联系起来的吗?自然界掌握了求解极大极小问题、线性代数问题和求出含约束问题最优解的艺术。

现在我们就把注意力集中到小小的蜜蜂身上,看看其中蕴藏着哪些数学概念。

巢房是由一个个正六角形的中空柱撞房室,背对背对称排列组成。六角形房室之间相互平行,每一间房室的距离都相等。每一个巢房的建筑,都是以中间为基础向两侧水平展开,从其房室底部至开口处有13度的仰角,这是为了避免存蜜的流出。另一侧的房室底部与这一面的底部又相互接合,由三个全等的菱形组成。此外,巢房的每间房室的六面隔墙宽度完全相同,两墙之间所夹成的角度正好是120度,形成一个完美的几何图形。

有人说,开始蜜蜂把蜂窝做成了圆筒形状,因为蜜蜂要做成很多的圆筒,当这么多圆筒互相之间受到了来自前后左右的压力时,圆筒形便变成了六角形。从物理中力学的观点来看,六角形的结构的确比圆筒形的结构稳定。这话好像十分有道理。可是你再仔细观察蜂窝的形状,便会发现蜂窝的六角形都是连成一片的,蜜蜂从一开始便建了六角形的蜂窝,而不是先做成圆筒形的。

蜂窝的六角形到底有何好处呢?18世纪初期,法国的马拉尔奇量出了蜂窝的六棱柱尖底的菱形的角,发现了又一个很有趣的规律,那便是每个菱形的钝角都为109°28′(读作109度28分),但锐角都为70°32′。难道说这里面还有什么奥秘吗聪明的法国物理学家列奥缪拉想到:制造蜂窝的材料全是蜜蜂身上所分泌出来的蜂蜡,蜂蜡不仅耐热,而且很结实。蜜蜂为了能多分泌蜂蜡要吃好多蜂蜜才行,那样一点一滴地建造的蜂窝是十分不容易的。是不是由于蜜蜂为了节省它们的蜂蜡,还要保证蜂房的空间够大,才把蜂窝做成了六角形的形状呢?这确实是一个好想法!他请教了巴黎科学院的一位瑞士数学家克尼格,克尼格计算出的结果证明了他的猜测,可是遗憾的是计算出来的角度为109°26′与70°34′,和蜂窝的测量值仅差2′。直至1743年,苏格兰一位数学家马克罗林再次重新计算,结果竟和蜂窝的角度完全一致。原来,克尼格所使用的对数表上的资料是印错了的。

其实早在公元4世纪古希腊数学家贝波司就提出,蜂窝的优美形状,是自然界最有效经济的建筑代表。他猜想,人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝,是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。他的这一猜想被称为“蜂窝猜想”,直至1999年才由美国数学家黑尔证明。

由此看来,蜜蜂不愧是宇宙间最令人敬佩的建筑专家。它们凭着上帝所赐的天赋,采用“经济原理”——用最少材料(蜂蜡),建造最大的空间(蜂房)——来造蜜蜂的家。

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