数学起源于人类早期的生产活动，为中国古代六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。从古至今，数学一直不断地延展，且与科学有相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有许多的发现，并且直至今日还在不断地发现中。
45.赵爽解释勾股定理
赵爽，东汉末至三国时代吴国人，他是历史上著名的数学家。
据载，他研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过“算术”。他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀》。《周髀》是我国最古老的天文学著作，唐初改名为《周髀算经》，赵爽为该书作了详细注释，取名为《周髀算经注》。
《周髀算经注》简明扼要地总结出古代勾股算术的深奥原理。其中一段500余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献，它详细解释了《周髀算经》中的勾股定理，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”他又给出了新的证明：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”“又”、“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明。
赵爽还研究了二次方程问题，得出与韦达定理类似的结果，并得到二次方程求根公式之一。此外，他使用“齐同术”，在乘除时应用了这一方法，还在“旧高图论”中给出重差术的证明。赵爽的数学思想和方法对中国古代数学体系的形成和发展有一定影响。
46.刘徽的“割圆术”
刘徽是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有重要地位。他的作品《九章算术注》和《海岛算经》，是我国宝贵的数学遗产。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有200多个问题的解法。在许多方面，如解联立方程、分数四则运算、正负数运算、几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列。但是，解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽对此作了补充证明。
在这些证明中，刘徽显示了自己多方面的、创造性的才能。他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则，改进了线性方程组的解法。
在几何方面，他提出了“割圆术”，就是将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他用“割圆术”从直径为两尺（66厘米）的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。他计算了3072边形面积并验证了这个值。
刘徽还利用“割圆术”科学地求出了圆周率π＝3.14的结果，奠定了此后千余年，中国圆周率计算在世界上的领先地位。
47.祖暅计算球体积
在数学中，有一个著名的“祖暅原理”，也就是“等积原理”。它是由南北朝杰出的数学家祖暅首先提出来的。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪，才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚了一千多年。
最初研究球体积的计算公式时，祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异。”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。这个原理很容易理解。取一摞书或一摞纸张堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改变其形状，这时高度没有改变，每页纸张的面积也没有改变。因此，这摞书或纸张的体积与变形前相等。祖暅不仅首次明确提出了这一原理，还成功地将其应用到球体积的推算，从而给出球体积的正确公式。这一原理后人称之为“祖暅原理”。
48.杨辉制成纵横图
纵横图，也叫“幻方”，就是将从1至n平方的自然数排列成纵横各有个数的正方形，使每行、每列、有时还包括每条主对角线上的个数的和都等于同一个数。长期以来，人们习惯于将纵横图当作纯粹的数学游戏，没有给予应有重视。随着近代组合数学的发展，纵横图显示了越来越强大的生命力，在图论、组合分析、对策论、计算机科学等领域中，找到了用武之地。那么，是谁第一个给出了如此丰富的纵横图并讨论了其构成规律的呢？他就是数学家杨辉。
杨辉发明纵横图是从一件小事中得到启发的。一天，杨辉坐轿子外出巡游。走着走着，轿子停下来了，前面传来孩子的大声喊叫声，接着是衙役恶狠狠的训斥声。杨辉忙问怎么回事，差人来报：“一个小孩不让过，说等他把题目算完后才让走，要不就绕道。”杨辉连忙下轿，来到小孩前面，问道：“为何不让本官从此处经过？”小孩答道：“我怕你们把我的算式踩掉，我又想不起来了。”“什么算式？”“就是将1到9的数字分三行排列，不论直着加，横着加，还是斜着加，结果都是等于15。先生（老师）让下午一定要把这道题做好。我正算到关键之处。”
杨辉连忙蹲下身，仔细地看了看那个算式，和小孩一起算了起来。直到天已过午，他们才算出来。杨辉说：“你可以带我去你的先生吗？”“好的。”
下午，杨辉见到先生，两个人谈论起数学。杨辉说：“刚才那道题，您是怎么想出来的？”先生笑着说：“不是我想的，是古人想的。南北朝的甄鸾在《数术记遗》一书中写过：‘九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履，一五居中央。’”杨辉问：“你可知道这个九宫图是如何造出来的？”先生摇摇头。
回到家中，杨辉反复琢磨，一有空闲就在桌上摆弄这些数字，终于发现一条规律。他将这条规律总结成四句话：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。意思就是：一开始将9个数字从大到小斜排三行，然后将9和1对换，左边7和右边3对换，最后将位于四角的4、2、6、8分别向外移动，排成纵横三行，就构成了九宫图。
按照类似的规律，杨辉又得到了“花16图”，就是从1到16的数字排列在四行四列的方格中，使每一横行、纵行、斜行四数之和均为34。后来，杨辉又将散见于前人著作和流传于民间的有关这类问题加以整理，得到了“五五图”、“六六图”、“衍数图”、“易数图”、“九九图”、“百子图”等许多类似的图。杨辉将这些图总称为“纵横图”，并于1275年写进自己的数学著作《续古摘奇算法》一书中，流传后世。
49.李冶总结天元术
李冶是著名的数学家。他自幼聪敏，喜爱读书，对数学和文学都很感兴趣。1230年，李冶在洛阳考中词赋科进士，任钧州知事，为官清廉、正直。1232年，钧州城被蒙古军队攻破。李冶不愿投降，只好换上平民服装，北渡黄河避难。经过一段时间的颠沛流离之后，李冶定居于崞山的桐川。
1234年初，金朝为蒙古所灭。金朝的灭亡给李冶生活带来不幸，但由于他不再为官，这在客观上使他的科学研究有了充分的时间。他的工作条件是十分艰苦的，不仅居室狭小，而且常常不得温饱，要为衣食而奔波。但他却以著书为乐，从不间断自己的写作。他在桐川研究工作是多方面的，包括数学、文学、历史、天文、哲学、医学。其中最有价值的工作是对天元术进行了全面总结，写成数学史上的不朽名著——《测圆海镜》。
《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式，即9种求直角三角形内切圆直径的方法，而且给出一批新的求圆径的公式。卷一的《识别杂记》阐明了圆城图式中各勾股形边长之间的关系以及它们与圆径的关系，共600余条，每条可看作一个定理或公式，这部分内容是对中国古代关于勾股容圆问题的总结。后面各卷的习题，都可以在《识别杂记》的基础上，以天元术为工具推导出来。
李冶总结并完善了天元术，使之成为中国独特的半符号代数。这种半符号代数的产生，要比欧洲早300年左右。除此之外，他还发明了负号和一套先进的小数记法，采用了从零到九的完整数码。
50.领先世界的《数书九章》
秦九韶是古代杰出的数学家。他唯一的数学著作《数书九章》被称为“一部划时代的巨著”，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法具有世界意义的重要贡献。美国科学史家萨顿曾说过：“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一。”
《数书九章》全书18卷，81题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。这部巨著总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去。
秦九韶的很多研究成果都在世界上遥遥领先，将中国古代数学推向了顶峰。他发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的最高成就，比西方著名数学家高斯建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”；秦九韶创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，领先英国数学家霍纳572年；秦九韶给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法，在欧洲最早是1559年布丢给出的，他开始用不很完整的加减消元法解一次方程组，比秦九韶晚了312年，且理论上的不完整也逊于秦九韶。
51.朱世杰的杰出著作
宋元时期，中国数学鼎盛时期中，杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一。
在宋元时期的数学群英中，朱世杰的工作具有特殊重要的意义。站在朱世杰数学思想的高度俯瞰传统数学，会有“一览众山小”之感。朱世杰总结了宋元数学，使之在理论上达到新的高度。
在数学科学上，朱世杰全面继承了秦九韶、李冶、杨辉的数学成就，并给予创造性的发展，写出了《算学启蒙》、《四元玉鉴》等著名作品，将我国古代数学推向更高的境界，形成宋元时期中国数学的最高峰。
《算术启蒙》是一部通俗数学名著，全书共三卷，20门，有200多个问题和相应的解答。这部书从乘除运算起，一直讲到当时数学发展的最高成就“天元术”，全面介绍了当时数学所包含的各方面内容。它的体系完整，内容深入浅出，通俗易懂，是一部很著名的启蒙读物。这部著作后来流传到朝鲜、日本等国，出版过翻刻本和注释本，产生过一定的影响。
《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，它受到近代数学史研究者的高度评价，认为是中国古代数学科学著作中最重要的、最有贡献的一部数学名著，其中最杰出的数学创造有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积术”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）。
朱世杰的杰出著作将中国古代数学推向更高的境界，为中国古代数学的光辉史册，增加了新的篇章。
52.“珠算宗师”的发明
程大位是明代珠算家。他读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣。从20岁起，他便在长江中﹑下游一带经商。因商业计算的需要，他随时留心数学、遍访名师，搜集了很多数学书籍，刻苦钻研、时有心得。他约在40岁时回家，专心研究、参考各家学说，加上自己的见解，于60岁时完成《直指算法统宗》一书（简称《算法统宗》）。
《算法统宗》全书近600个问题，绝大多数是由其他数学著作，如刘仕隆的《九章通明算法》、吴敬的《九章算法比类大全》等书中摘录的。《算法统宗》中第一、二卷是全书所用的基本知识；第3到12卷为各种应用题解法汇编，各卷基本上以《九章算术》的章名为标题；第13卷到16卷为“难题”，其实算法都很简单，只是条件用诗歌表达，比较隐晦；第17卷为“杂法”。书中各类问题都用珠算，程大位使用的一套简明顺口的珠算加减乘除口诀及开方方法，一直沿用至今。
《算法统宗》系统总结了我国的珠算法，是一部比较完备的珠算书，标志着我国数学史上由筹算向珠算转化的完成，程大位也因此被誉为“珠算宗师”。明朝末年，这本书传入朝鲜﹑日本及东南亚各地，对这些地方的珠算发展起了重要作用。
世界第一卷尺也是程大位于1578年左右发明的，他当时称它为“丈量步车”，他因此被誉为“卷尺之父”。
“丈量步车”较之当今的钢卷尺、皮卷尺显得很庞大，但从其原理、构造、用途和用法来看，它就是卷尺的雏形。它由木制的外套、十字架，竹制的篾尺，铁制的转心、钻脚和环等部件组成。篾尺收放均从外套的匾眼中进出，钻脚便于准确插入田地测量点，便于提携。更为珍奇的是，程大位发明的卷尺不但有实物，而且在《算法统宗》第三卷中有完整的零件图、总装图、设计说明和改型说明等全套书面资料，这在世界发明史上是相当罕见的。
